STATISTIK-FORUM.de

[Culentriel]

Sehr geehrte Mitglieder,
ich habe momentan das Problem, dass ich bei der bedingten Wahrscheinlichkeit nicht so durchblicke, wie ich es gerne würde.
Jetzt habe mir dazu bereits ein paar Videos angeschaut, die haben mir jedoch auch nur wenig weitergeholfen.
Jedoch meine ich zu erkennen, dass die Aufgaben in meinem Buch ähnlich zu den Aufgaben in den Videos sind.
Ich habe da z.B diese Aufgabe:
Die Anzahl der Autodiebstähle in einem bestimmten Staddteil ist im letzten halben Jahr stark gestiegen. Aus diesem Grund lässt sich ein Anwohner eine Alarmanlage in sein AUto einbauen. Wird das Auto aufgebrochen, so läst die Arlarmanlage mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% aus. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlarlarm, d.h der Alarm wird ausgelöst, ohne dass das AUto aufgebrochen wurde, beträgt 0,1%. Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem beliebigen Tag ein Autoeinbruch stattfindet, liegt in dem Staddteil bei 0,001.
Aufgabe: Die Alarmanlage ertönt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Auto gerade aufgebrochen?

Im Grunde gibt es hier doch zwei Bedinungen mit je zwei Entscheidungen, 1. Ein Autoeinbruch findet statt und 2. Die Alarmanlage löst "richtig aus.
Könnte man hier nicht eine vier-Felder Tafel erstellen?

Ich bin mir nicht sicher wie ich hier vorgehen soll und Formel nur auswenig lernen ohne verstehen finde ich suboptimal.
Ich erkenne jedoch den Aufbau dieser Aufgabentypen, die nächste "gleiche" Aufgabe sieht so aus:
Sie machen Urlaub in einem tropischen Land. Die Wahrscheinlichkeit, in diesem Land als Tourist an Bellsucht zu erkranken, beträgt 0,1%. Nach Ihrer Rückkehr lassen Sie sich mit einem medizinischen Testverfahren auf Bellsucht untersuchen. Der Test identifiziert mit 99%iger Wahrscheinlichkeit die Erkankten und mit 98%iger Wahrscheinlichkeit die Gesunden. Er ist also sehr zuverlässig. Und er ist bei Ihnen positiv ausgefallen. Besteht Grund sich ernsthafte Sorgen zu machen?
Aufgabe 1: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis positiv ausfällt.
Aufgabe 2: Berechnen Sie unter Berücksichtigung Ihres positiven Testergebnises die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Sie an Bellsucht erkankt sind.

Hier hat man doch im Grunde auch wieder zwei Ereignisse mit je zwei Möglichkeiten. 1. Sie sind erkankt an Bellsucht. 2. Der Test identifiziert Sie richtig.
Kann man immer bei solchen bedingten Wahrscheinlichkeiten eine vier-Felder Tafel aufstellen und daraus die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Kombinationen ableiten?
MfG

[bele]

Es gibt drei typische Wege, diese Probleme anzugehen. Entweder über Vierfeldertafeln, über Entscheidungsbäume oder über das Bayes-Theorem. Vierfeldertafeln sind am übersichtlichsten und intuitivsten und bieten daher den optimalen Einstieg. Versuche am besten, jedes dieser Probleme auf allen drei Wegen anzugehen, dann bekommst Du das beste Gefühl dafür, wie die zusammenhängen.

LG,
Bernhard

[Culentriel]

Hallo Bernhard,
ich habe jetzt versucht die Autoaufgabe mithilfe der vier-Felder Tafel zu lösen, dabei bin ich aber wahrscheinlich falsch vorgegangen, weil diese mir nicht besonders dabei geholfen hat.
Auf meiner Formelsammlung habe ich das hier für Bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen:
Also habe ich versucht die vier-Felder Tafel aufzustellen, welche folgendermaßen aussah:
In die Formel hab ich also folgendes eingesetzt: (0,95*0,001)/(0,95*0,001+0,001*0,999)
Den ersten Wert (0,95*0,001) konnte ich aus der vier-Felder Tafel entnehmen, der steht ja für die Wahrscheinlichkeit mit der die Alarmanlage ertönt, wenn ein Autoaufgebrochen wird. Das teilt man dann durch die gesamtwahrscheinlichkeit mit der ein Alarm ausgelöst wird, ob ein Einbruch stattfindet ist dabei ja egal. Mit der vier-Felder Tafel habe ich doch aber hier nicht den zweiten Wert berechnen können (0,001*0,999) -> Wahrscheinlichkeit für Fehlalarm wenn kein Auto aufgebrochen wird.
Bislang hardere ich noch mit dieser vier-Felder Tafel, ich bin mir nicht sicher was ich hier falsch angehe.
Kannst du mir da weiterhelfen?
LG

[bele]

Hallo Culentriel,

Du vermischst hier zwei Lösungswege. Du kannst das über die Bayesformel lösen oder mithilfe einer Vierfeldertafel. Beide vermengen bringt durcheinander.

Insgesamt gibt es 100% Autos mit Alarmanlage. Davon erleiden 0,001 einen Einbruch. Danach sieht die Tafel wie folgt aus:

Code: Alles auswählen

                    Alarm
                 ja        nein
           ja                       0,1 %
Einbruch
         nein                       99,9 %
                             
                                    100 %

Von den 0,1 % mit Einbruch löst bei 95% die Alamanlage aus, bei 5% nicht. Damit entwickelt sich die 4-Feldertafel zu:

Code: Alles auswählen

                     Alarm
                 ja        nein
           ja   0,095%    0,050%     0,1 %
Einbruch
         nein                       99,9 %
                             
                                    100 %


Von den 99,9% Autos mit Alarmanlage lösen trotzdem 0,1% aus, also 0,00999% aller Autos mit Alarmanlage:

Code: Alles auswählen

                     Alarm
                 ja        nein
           ja   0,095%    0,005%     0,1 %
Einbruch
         nein 0,00999%  99,89001%   99,9 %
                             
                                    100 %


Daraus lässt sich jetzt auch die unterste Zeile füllen:

Code: Alles auswählen

                     Alarm
                 ja        nein
           ja   0,095%    0,005%     0,1 %
Einbruch
         nein 0,00999%  99,89001%   99,9 %
                             
              0,10499%   99,89501%    100 %

Was wir nur der Vollständigkeit halber tun. So, diese Vierfeldertafel sieht erstmal ganz anders aus als Deine und Du solltest ernsthaft nach dem Fehler suchen.

Die Aufgabe lautet: "Die Alarmanlage ertönt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Auto gerade aufgebrochen?"

Dich interessiert also nur noch die Spalte "Alarm: Ja". In dieser Spalte willst Du wissen, wie groß der Anteil der Einbrüche an der ganzen Spalte, wie viel also 0,095% aller Autos mit Alarmanlage in einer Subgruppe von 0,10499% aller Autos mit Alarmanlage sind: 0,095 / 0,10499. Da kommen etwa 90% raus.


Bitte nochmal nachrechnen, ob ich einen Übertragungs- oder Rechenfehler gemacht habe.

LG,
Bernhard

[Institut_Zwei]

...lässt sich ein [einziger] Anwohner eine Alarmanlage in sein [ein] AUto einbauen. ... Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlarlarm, ... beträgt 0,1%.
Aufgabe: Die [einzige] Alarmanlage ertönt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Auto gerade aufgebrochen?

Triviale Antwort: 1- 0,001 = 99,9%. Es gibt ja - von Aufgabe her - keine anderen Autos mit Alarmanlage und Sie dürfen die Einbruchswahrscheinlichkeit im Stadtteil von 0,001 nicht speziell auf dieses Auto mit Alarmanlage anwenden.

Bei der Interpretationen dieser Aufgabe, die die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt, wurde Ihnen die Frage in vorherigen antworten ganz korrekt beantwortet.

[bele]

Hallo Statistikinstitut Zwei. Die Aufgabenstellung lässt klar erkenne, dass hier die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms in einer bestimmten Zeiteinheit angegeben, aber nach der bedingten Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms für den Fall eines Alarms gefragt ist.

Gruß,
bele

[Culentriel]

Hallo,
ich kann die vier-Felder Tafel jetzt logisch nachvollziehen und weiß nun auch wie man weitermacht, nachdem man diese ausgefüllt hat.
Was mich jetzt wundert, ist das in meinem Lösungsbuch nach dieser Rechnung: (0,95*0,001)/(0,95*0,001+0,001*0,999) , dieser Wert: 0,48742945 herauskommt.
Wurde da etwas falsch eingetraden oder wie passiert das?
LG