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[Mo_85]

Hallo zusammen,

ich habe folgende Problemstellung, mit der ich mich seit Tagen beschäftige, aber nicht wirklich vorankomme. Sie ist zugegeben recht komplex.

Es geht um die zeitgleiche Diffusion zweier Produkte in einer Population aus identischen Individuen. Diese Individuen entscheiden nacheinander, welches der Produkte sie wählen sollen.
Der erste wählt Produkt A mit Wahrscheinlichkeit p und Produkt B mit Wahrscheinlichkeit 1-p.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der die nachfolgenden Individuen A wählen, hängt davon ab, wie viele Leute schon vor ihm A gewählt haben, sprich wie groß die Produktbasis von A ist. Ich lege die Wahrscheinlichkeitsfunktion zugrunde, wobei die Zahl der Individuen ist, die A schon gekauft haben. Diese Funktion ist konkav, sie beginnt für bei p und konvergiert gegen 1 (mit zunehmender Produktbasis von A).

Das heißt, wenn Individuum 1 mit Wahrscheinlichkeit p A gewählt hat, dann wählt Individuum 2 mit Wahrscheinlichkeit auch A, mit der Gegenwahrscheinlichkeit aber B. Wenn Individuum 1 und 2 A gewählt haben, wählt Individuum 3 mit Wahrscheinlichkeit auch A usw., sodass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum, das an der Reihe ist, A wählt, um so größer ist, je mehr Leute schon vor ihm A gewählt haben. Wir haben also einen Pfad, der sich als Markov-Kette darstellen ließe.

Jetzt ist es aber so, dass wann immer beide Produkte gleich viele Nutzer haben, dann entscheidet sich das Individuum, das dran ist zu wählen, mit Wahrscheinlichkeit für A und für B.

Ist das Produkt B aktuell in der Mehrheit, wählt das Individuum, das aktuell wählt, mit Wahrscheinlichkeit Produkt B und mit der Gegenwahrscheinlichkeit Produkt A.

Es geht also um die simultane Diffusion zweier Produkte.

Nun zu meinen Fragen:

Im Prinzip geht es darum, dass ich angeben will, wie viele Nutzer A und B am Ende (im Erwartungswert) haben werden, wenn alle k Individuen entschieden haben.

Kann man das Ganze als Markov-Kette in Matrix-Schreibweise darstellen? Wenn ja, wie? Muss ich alle möglichen Zustände auflisten?

Müssen die beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen gefaltet werden? Wenn ja, wie stelle ich das an?
Ich möchte den Diffusionsprozess gerne korrekt darstellen und würde mich über Input und Tipps sehr freuen. Auch über Tipps/Anregungen, ob man das Ganze anders darstellen könnte.

PS: Wenn p=0.5, dann haben beide Produkte am Ende erwartungsgemäß die Hälfte der Bevölkerung. Dieses Ergebnis ist aber für mein weiteres Vorhaben zu trivial. Deshalb möchte ich da eine gewisse Asymmetrie ins Spiel bringen, um das Ganze interessanter zu machen.