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SteFi · von **SteFi** » Mi 14. Mär 2012, 23:22

Hallo

Ich hätte fragen bezüglichen Beweisen welche ich erstellen muss.

Eine Zufallsvariable Y die unabhängig und gleichverteilt N(0, $\sigma^2)$ für i=1,...n.
(a) Zeige dass $E(\frac{Y_i^2}{\sigma^2})$
(b) Zeige dass $W=(\frac{1}{\sigma^2}*\sum Y_i^2$ ) ist $\chi^2_n$ verteilt
(c) Zeige dass $E(W) = n$
(d) Zeige dass $V = \frac{Y_1}{\sqrt\frac{\sum Y_i^2}{n-1}}$ t-verteilt ist.

Folgend meine Versuche zu den Beweisen.
(a) $E(\frac{Y_i^2}{\sigma^2})$ = $E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2) - (E(Y_i)^2})$
da $(E(Y_i)^2 = 0$
bleibt $E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2)})$
darf ich $(\frac{E(Y_i^2)}{E(E(Y_i^2))})$ schreiben, durch kürzen würde hier 1 heraus bekommen. Doch bin ich mir nicht sicher ob ich diesen Schritt machen darf?

(b) $W=(\frac{1}{\sigma^2}*\sum Y_i^2$ )
Laut Definition in Wikipedia ist die $\chi^2_n$ Verteilung $\chi^2_n \sim Z_1^2 + \dotsb + Z_n^2$ . Also ist W die $\chi^2_n$ Verteilung mit $\frac{1}{\sigma^2}$ multipliziert.
Hier habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich das beweisen kann.

(c) Ist $E(W) = n$ nicht per Definition so? Wie sollte man das Beweisen, wenn es eine Definition ist?

(d) Hierzu habe ich auch keine Ahnung wie der Beweis gehen sollte.

Ich hoffe das mir jemand helfen kann.
Danke schon mal im vorraus!

lg SteFi

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