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[Zeuxis123]

Hallo Forum,

ich habe an meiner Uni eine Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiter komme.

Ich habe folgende dinge gegeben:
Halbwertszeit t1/2
Anfangsteilchenanzahl
T als die Wartezeit zum Zerfall (Exponentialverteilt angenommen)
P(T≤t1/2) = 1/2 als gegeben.

Die Rate der Exponentialverteilung habe ich bereits bestimmt.

Bei der weiteren Aufgabe geht es jetzt darum, N sei die Zahl der Teilchen, die aus der Anfangszahl in einem Jahr Zerfallen.

Daraus soll ich jetzt die exakte Verteilung von N geben und erläutern, warum sich N durch eine Normalverteilung approximieren lässt und deren Parameter bestimmen.

Ich habe an eine Poisson-Verteilung gedacht, aber die wäre ja nicht abhängig von der anfänglichen Teilchenzahl oder?

PS: Ich habe die exakten Daten rausgelassen, da ich nicht weiß ob meine Uni das gerne sieht, wenn ich Aufgaben exakt teile.

Über Anregungen/Vorschläge würde ich mich freuen.

Liebe Grüße

[bele]

Hallo Zeuxis,

vergiss mal kurz die Exponentialverteilung. Du hast eine definierte Anzahl von N Teilchen. Jedes Teilchen hat ein Jahr später seinen Zustand entweder verändert oder es hat ihn nicht verändert (0 oder 1) und für jedes dieser Teilchen besteht eine gleiche Wahrscheinlichkeit p, dass es zu diesem Zeitpunkt seinen Zustand verändert haben wird.

Nach welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung hört sich das für Dich an?

Poisson- und Normalverteilung sind schon deshalb nicht richtig, weil dann am Ende mehr Teilchen zerstrahlt sein könnten als vorher da waren. Welche andere Verteilung beginnt mit einer festen Höchstzahl und kann aber bei großen Zahlen oft auch durch eine Normalverteilung approximiert werden?

GLG,
Bernhard

[Zeuxis123]

Hallo Bele,

danke erstmal für die Antwort.

So betrachtet, hätte ich aus der Beschreibung heraus auf die Binomialverteilung gesetzt.



Wobei n die anfängliche Teilchenzahl,
k die Anzahl der Erfolge/Zerfälle
und P die Wahrscheinlichkeit der Zerfälle k repräsentieren.

Und die summierte Wahrscheinlichkeit von k wäre 100% und kann den Anfangsbestand nicht überschreiten.

Wäre hier p = aus der Exponentialverteilung?

Wenn ja wäre damit die Näherung an die Normalverteilung als hinreichend gut definiert, wenn np(1-p) ≥ 9 gilt oder?

Die Exponentialverteilung hat mich in dem Kontext verwirrt


Vielen Dank

[bele]

Hallo Zeuxis,

freut mich, dass Du es mit einer einfachen Umformulierung der Frage selbst klären konntest. ist die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Teilchens, nach einem Jahr zerfallen zu sein. steht laut Wikipedia für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Demnach wäre abhängig von der Zahl der Teilchen zu Beginn, aber nicht.

HTH,
Bernhard

[Zeuxis123]

Ich habe jetzt auch etwas recherchieren: https://de.wikipedia.org/wiki/Lebensdau ... ntenphysik)
Hier wird Lambda als die Zerfallswahrscheinlichkeit beschrieben.


Außerdem habe ich Folgendes gefunden:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit zerfällt ein Kern?
Nachdem die Kerne eines instabilen Isotops irgendwann sicher zerfallen, liegt es nahe, dass die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall eines Kerns mit der Beobachtungsdauer t zunimmt. Für sehr kurze Beobachtungsdauern können wir annehmen, dass die Zunahme linear ist.



Da ich ein Lambda gegeben habe, das als pro Jahr definiert ist und ich die Zerfälle eines Jahres verteilen soll, gehe ich davon aus, dass ich diese Wahrscheinlichkeit nehmen kann.