STATISTIK-FORUM.de

[Student-t]

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Münzwurf-Serien ist charakterisiert durch








Wenn beispielsweise 100mal eine faire Münze geworfen wird, wieder 100mal, wieder 100mal, … usf. ..., wären die meisten Ergebnisse um 50:50 Kopf:Zahl (den Mittelwert) zu erwarten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis von 45:55 raus kommt, läge eine Standardabweichung vom Mittelwert, da

Weiß vielleicht jemand in diesem Forum, warum sich genau diese Formel (mit Wurzel aus Anzahl der Würfe/4) für die Standardabweichung ergibt? Lässt sie sich für einen durchschnittlich gebildeten Menschen begründen oder herleiten?
In dem Buch, aus dem ich sie habe, fällt sie leider ohne weiteren Kommentar vom Himmel. - Sie ist offensichtlich jedoch korrekt, das kann man experimentell überprüfen. (zB mit einem echten Zufallsgenerator, der Binärzahlen generiert)

Falls jemand eine Erklärung für mich hat, wäre ihm/ihr mein Dank und meine Anerkennung gewiss.

Viele Grüße.

[Streuner]

Hey,
das ganze lässt sich recht leicht herleiten.

Bei einem Münzwurf handelt es sich um einen Bernoulli Versuch, also es treten nur die Werte 0 oder 1 auf z.B 0= Kopf, 1=Wappen oder umgekehrt.
Bei mehrmaliger Ausführung dieses Versuches spricht man dann von einer Binomialverteilung mit B(N,p) in deinem Fall B(v,0,5) wobei v= Anzahl der Würfe.

Da es sich also um eine Binomialverteilung handelt, ergibt sich:
- theoretischer Erwartungswert: E(X) = n*p in diesem Fall v*0.5 also anders geschrieben v/2
- theoretische Varianz: Var(X) = n*p*(1-p) in deinem Fall also, v*0.5*(1-0.5) = v*0.25 oder v/4 die Wurzel aus der Varianz ist laut Definition gleich die Standardabweichung also in deinem Fall Wurzel(v/4)


Der theoretische Erwatungswert einer Verteilung approximiert den Mittelwert in den Daten (ungenau gesagt: theoret. Erwartungswert entspricht dem Mittelwert der Daten)
Das selbe ist halt der Fall bei der theoretischen Varianz und der Varianz in den Daten.

Also nochmal als Kurzusammenfassung:

Das ganze leitet sich als Approximation aus dem theoretischen Erwartungswert und der theoretischen Standardabweichung einer B(N,p) Verteilung her.


Hoffe das ganze war einigermaßen verständlich.

Falls noch Nachfragen bzw Verständnisfragen zu obiger Ausführung bestehen, einfach gern anschreiben.


Lg,

Streuner

[Student-t]

Danke für die detaillierte Erklärung!