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[Flickenteppich]

Das ist jetzt keine ANOVA-spezifische Frage, deswegen habe ich sie mal hier gepostet.

Mir geht es um die Chi²-Verteilung. Ich habe verstanden: Diese ergibt sich, wenn man eine Menge von standardnormalverteilten, unabhängigen Variablen quadriert und aufsummiert, also:

Chi² = Summe z²

Wobei diese Chi²-Verteilung n Freiheitsgrade hat (und n ist die Anzahl der standardnormalverteilten Variablen, die man aufsummiert).

Jetzt habe ich auf einer Vorlesungsfolie stehen, dass bei der ANOVA die Quadratsummen chi²-verteilt wären.
Z.B. bei er einfaktoriellen ANOVA:
Da hat man ja einmal die zwischen-Gruppen-Quadratsumme (ich nenne sie QS zwischen) und die Innergruppen-Quadratsumme (ich nenne sie QS innerhalb).

QS zwischen = Summe (Gruppenmittelwert - Gesamtmittelwert)²

QS innerhalb = Summe (Einzelwert - Gruppenmittelwert)²

Und diese Größen sollen Chi²-verteilt sein? Das verstehe ich nicht so ganz.

Also klar, man hat berechnet immer die Abweichung von einem Mittelwert, und so ist es bei standardnormalverteilten Variablen im Prinzip auch.
Eine normalverteilte Variable kann man ja auch nach dieser Formel in eine standardnormalverteilte Variable transformieren:
z = (Wert - Mittelwert) / SD

Und bei den Quadratsummen hat man ja auch "Gruppenmittelwert - Gesamtmittelwert" bzw. "Einzelwert - Gruppenmittelwert", aber das ganze wird ja gar nicht durch eine Standardabweichung geteilt.
Deswegen verstehe ich nicht, warum das Ergebnis eine Chi²-Verteilung sein soll. Das wäre ja dann der Fall, wenn diese Summe eine Aufsummierung von quadrierten standardnormalveteilten Variablen wäre. Da aber bei den Quadratsummen die jeweilige Differenz nicht etwa durch die Standardabweichung der Variablen geteilt wird, sind es eigentlich auch keine aufsummierten standardnormalverteilten Werte. Und deswegen kann ich nicht so recht verstehen, warum eigentlich eine Chi²-Verteilung resultiert, warum diese Quadratsummen chi²-verteilt sein sollen.

Kann das jemand für mich nachvollziehbar machen?