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[mm@muellermario.de]

Hallo zusammen,

ich arbeite mit dem Klett Arbeitsbuch Stochastik und glaube dort wird eine falsche Lösung gegeben.

Die Frage lautet:
Bei einem Spiel darf Raphael von seinem Mitspieler, der die Königkarte hat, drei von dessen 5 KArten ziehen. Wie groß ist due Wahrscheilichkeit, dass er die Königskarte zieht.


Ich würde das so rechnen: 1/5 + 1/4 + 1/3 = 0,783

Die Antwort im Klett-Aufgabenbuch ist aber:
P("Er zieht die Königskarte") = 1 - P (3 x nicht Königskarte) = 1 - (4/5 * 3/4 * 2/3) = 1 - 2/5 = 0,6


Wer hat nun recht? Ich oder das Arbeitsbuch? Wenn das Arbeitsbuch recht haben sollte, wo liegt mein Denkfehler?

Danke, viele Grüße Mario

[mm@muellermario.de]

Ich habe es nachgerechnet mit einem Python Programm, dass 10.000 mal den Versuch durchführt. Die richtige Antwort ist tatsächlich, die Antwort aus dem Buch. Mit anderen Worten: Mein Lösungsansatz ist falsch.
Was mir dennoch ein Rätsel ist: Wie erkenne ich aus der Fragestellung, dass ich über die Gegenwahrscheinlichkeit auf das Ergebnis komme?

[bele]

Hi,

Ich würde das so rechnen: 1/5 + 1/4 + 1/3 = 0,783

Das 1/5 verstehe ich auf Anhieb. Bist Du Dir sicher mit dem 1/4?

[mm@muellermario.de]

Mein Denkansatz war:
- Die Wk beim ersten Ziehen ist 1/5
- Die Wk beim zweiten Ziehen ist 1/4, da der Gegner nun noch 4 Karten hat
- Die Wk beim dritten Ziehen ist 1/3, da der Gegner nun noch 3 Karten hat

[mm@muellermario.de]

Um meinen Gedankenansatz zu vereinfachen: Den Gegner kann ich ja auch als Urne sehen:
4 Kugeln = weiss
1 Kugel = schwarz
Ich ziehe 3 mal; entspricht also einem Ziehen ohne Zurücklegen
Die Reihenfolge spielt auch keine Rolle.

[bele]

- Die Wk beim zweiten Ziehen ist 1/4, da der Gegner nun noch 4 Karten hat

Und da liegt der Denkfehler, nach dem Du gefragt hast: WENN Du beim ersten Ziehen nicht den König erwischt hast, dann stimmt dieser Gedanke. Aber in einem Fünftel der Fälle stellt sich die Frage nach einem zweiten Zug ja überhaupt nicht! In einem Fünftel der Fälle darfst Du dieses Viertel Wahrscheinlichkeit gar nicht addieren!

Wenn Du Dich noch überzeugen musst, kannst Du ja mal die Wahrscheinlichkeit berechnen, den König bei fünf Zügen zu ziehen: kann das 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1 sein? Eben.

Du könntest versuchen, das als Summe von lauter bedingten Wahrscheinlichkeiten zu rechnen und wirst feststellen: das Rechnen über die Gegenwahrscheinlichkeit ist nicht richtiger, aber viel, viel einfacher.

HTH,
Bernhard


PS: Dein Ansatz mit der Simulation ist überdurchschnittlich gut. Vielleicht magst Du den Code ja hier posten, falls jemand anders diesen Beitrag irgendwann über Google findet. Ich würde dann auch passenden R Code dazu posten.

[mm@muellermario.de]

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import random

myrange = 10000
treffer = 0

for i in range(myrange):
    ziffern = [1, 2, 3, 4, 5]
    zufallszahl = random.choice(ziffern)
    if zufallszahl == 1:
        treffer = treffer + 1
        # print(zufallszahl)
        continue
    else:
        ziffern4 = [1, 2, 3, 4]
        zufallszahl = random.choice(ziffern4)
        if zufallszahl == 1:
            treffer = treffer + 1
            # print(zufallszahl)
            continue
        else:
            ziffern3 = [1, 2, 3]
            zufallszahl = random.choice(ziffern3)
            if zufallszahl == 1:
                treffer = treffer + 1


print("Ergebnis", treffer/myrange)

[mm@muellermario.de]

Der o.a. Code ist in Python und prozessiert 10000 Epochen. Man erhält annähernd das richtige Ergebnis von 60%
@Bernhard: Vielen Dank für Deine Antwort

[mm@muellermario.de]

Und heir ist auch mein Denkfehler:

Ich vergesse in meiner Lösung, dass bei K im xten versuch, auch zweimal nicht K kommen muss,
also ist K im ersten zwar 1/5, aber K im zweiten nicht 1/4 !!!!!
W(K) egal im welchem Versuch ist immer 1/5 !!!
also -> 3 * 1/5 = 60%

Die Aufgabe war im Klett Übungsbuch "Stochastik" > Kapitel "Ziehen ohne Zurücklegen". Es ist aber ein dreimaliges Ziehen quasi mit Zurücklegen. Das hat mich in die Irre geleitet.

Voila!!!!

[bele]

Wie versprochen eine Lösung auch in R:

Code: Alles auswählen

wdh <- 1000000   # eine Mio Wiederholungen

einmal_experiment <- function(n=3, m=5)
  # ziehe n Karten aus m ohne Zurücklegen und prüfe, ob die Nummer 1
  # (steht für den König) enthalten ist
  any(sample.int(m, size = n) == "1")

# Wiederhole das Experiment 1.000.000 Mal
beobachtungen <- replicate(wdh, einmal_experiment())

# Berechne Anteil
sum(beobachtungen) * 100 / wdh