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[daniel]

Da die Frage nach der Interpretation von Interaktionen (auch: Moderatoreffekte) in linearen Regressionsmodellen eine FAQ zu sein scheint, hier ein Versuch, die allgemeine Vorgehensweise zu erläutern. Die Interpretation einer linearen Regressionsanalyse ohne Interaktionen sollte bereits bekannt sein.

Gegeben sei das lineare Regressionsmodell



Der Einfachheit halber verzichte ich auf explizite Subskripte. Alternativ stelle man sich , und als Vektoren vor.

Die Interpretation der Koeffizienten lässt sich an diesem Modell eigentlich direkt ablesen. Beginnen wir vorn, mit der Konstanten.

gibt den erwarteten Wert (Durchschnitt) in an, falls und den Wert 0 annehmen. Wieso? Setzen wir ein:



Da ein Produkt den Wert Null annimmt, sobald einer der Faktoren Null ist, fallen bis auf alle Terme aus der Gleichung. Das wäre nicht der Fall, wenn und/oder nicht Null wären. Bis zu dieser Stelle gleicht die Interpretation einem Regressionsmodell ohne Interaktion.

Wie lassen sich die anderen Koeffizienten interpretieren? Nun, gibt an, um wie viele Einheiten sich durchschnittlich mit der Änderung einer Einheit in verändert, falls den Wert Null annimmt. Da nicht nur einmal im Modell steckt, sondern als Teil der Interaktion (Produktterm ) zweimal, kann nicht (mehr) als einfacher Haupteffekt (oder schlicht: Effekt) von interpretiert werden. Vielmehr wird als konditionaler Haupteffekt von bezeichnet.

Es ist auch klar, dass nicht mehr einen (konstanten) Effekt hat. Wir haben die Interaktion ja gerade deshalb im Modell spezifiziert, weil wir vermuten, dass der Effekt von konditional, also abhängig von der Ausprägung der Variablen ist.

Wieso ist der Effekt von an der Stelle ? Naja, setzen wir wieder ein:



Im Falle fällt also der komplette Produktterm aus der Gleichung. Die Änderung in , die bei einer Änderung in zu erwarten ist, lässt sich in diesem Fall einfach an ablesen.

Und was ist nun der Effekt von , wenn nicht Null ist?

Aus den vorherigen Überlegungen zur obigen Gleichung wird deutlich, dass für jeden Wert der letzte Term nicht aus der Gleichung fällt (es sei denn ). Da dieser Term aber neben eben auch beinhaltet, verändert sich nun mit einer (Einheit) Änderung in , um . Der (globale) Effekt von auf ist also .

Es verteht sich von selbst, dass die Interpretation des Effekts von genau analog verläuft. Interaktionen sind statistisch/mathematisch niemals nur in einer Richtung zu interpretieren, auch wenn theoretisch/ökonometrisch nur eine Richtung interessant und/oder sinnvoll ist.

Die Interpretation der t-Tets der Koeffizienten folgt den gleichen Überlegungen. Zur Interpretation möchte ich mich an dieser Stelle einfach selbst zitieren.

Die Nullhypothesen, die R (und andere Statistiksoftware) automatisch testet, lauten:

H0: der Koeffizient ist nicht von Null verschieden.
H0: der Koeffizient ist nicht von Null verschieden.
H0: der Koeffizient ist nicht von Null verschieden.

Was wir aber interpretieren möchten, sind meist Hypothesen der Art

H0: der Effekt von ist nicht von Null verschieden.
H0: der Effekt von ist nicht von Null verschieden.
H0: der Effekt von auf den Effekt von (und umgekehrt) ist nicht von Null verschieden.

Nun stellt sich die Frage, was der Effekt ist.

Diese Frage haben wir bereits beantwortet, es gilt jetzt nur noch sich dieser Antwort bei der Interpretation der Signifikanztests bewusst zu sein.

Ein insignifikanter Koeffizient bedeutet nicht, dass keinen statistisch signifikanten Effekt hat. Es bedeutet schlicht, dass der Effekt von auf an der Stelle statistisch nicht signifikant von Null verschieden ist.

Ein insignifikanter Koeffizient bedeutet, dass es keine statistisch signifikante Wechselwirkung von und gibt.

Nach der Lektüre dieses Beitrags sollte die Interpretation von Interaktionen zwischen zwei metrischen Variablen, die Interaktionen zwischen binären Variablen und die Interaktion zwischen einer metrischen und einer binären Variablen erleichtert sein.

Interaktionen mit kategorialen Variablen, mit Ausprägungen folgen (selbstverständlich) der gleichen Logik. Sie sind zugegeben etwas schwieriger zu interpretieren, aber auch dafür dürfte der Beitrag einen gute Grundlage sein.

Eine lange, hoffentlich interessante Diskussion eines Anwendungsbeispiels einer Interaktion zweier binärer Variablen findet sich hier:
regressionanalyse-f11/interaktionseffekt-t1190.html

[Glühbirne]

Danke, Daniel, für diese Erklärung. Allerdings ist mir immernoch nicht klar, wie genau ich den Koeffizienten des Interaktionsterms v.a. bei zwei kontinuierlichen Variablen interpretieren muss. Mein bisheriger Stand: Ist der Koeffizient positiv, so ist der Effekt einer zusätzlichen Einheit von Variable2 (X2) auf die abhängige Variable (Y) größer mit jeder zusätzlichen Einheit von Variable1 (X1). Ist der Koeffizient negativ, so ist der Effekt kleiner. Doch wie kann ich ablesen ob der Effekt selbst negativ oder positiv ist?

[daniel]

Doch wie kann ich ablesen ob der Effekt selbst negativ oder positiv ist?

Was ist "der Effekt selbst"?

Du scheinst (noch immer) dem Irrtum zu unterliegen, es gäbe einen Effekt von X2 auf Y, der entweder negativ oder positiv ist. Das ist in diesem Modell so nicht korrekt. Es gibt, wie beschrieben, nicht mehr den (konstanten) Effekt von X2 auf Y, weil dieser nun abhängig von der Ausprägung von X1 ist. Das ist ja genau der Punkt der Interaktion. Der "Effekt selbt" kann also sowohl negativ als auch positiv sein -- je nach Ausprägung von X1.

Die Richtung des Effekts von X2 auf Y an der Stelle X1 = x zu bestimmen, ist simpelste Algebra. Einfach die geschätzen Werte in einsetzen und ausrechnen.