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[Andiego]

Und wieder oben

[bele]

Der Mittelwert der Bootstrapverteilung sollte doch Erwartungsgemäß dem des Samples entsprechen. Das ist doch der Kern der Inferenzstatistik. Wie entsteht hier diese Verzerrung?

Hallo Andiego,

ich versuch mich mal. Gefischt werden 60 Fische, von denen 13 markiert sind. Lass uns bootstrappen, wieviele Fische im Schnitt markiert sind.

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bootstrap.mittel <- function(n=10000){
    gefischt <- c(rep.int(0,60-13), rep.int(1,13))
    markierte <- replicate(n, sum(
                     sample(x=gefischt,size=60,replace=TRUE)
                     ))
    return(mean(markierte))
}

Jeder Aufruf dieser Funktion führt dazu, dass aus 60 Fischen, davon 13 markierte, n Bootstrapping-Samples gezogen werden. Du kannst Dich glanz leicht davon überzeugen, dass die Zahl der jeweils gefangenen markierten Fische um 13 schwankt und annähernd normalverteilt ist, wie dies der Grenzwertsatz fordert (hier ist natürlich nur eine Annäherung an die Normalverteilung durch ganzzahlige Werte möglich). Dazu fügen wir in die Funktion drei Zeilen ein um ein Histogramm und einen QQ-Plot zu zeichnen:

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bootstrap.mittel <- function(n=10000){
    gefischt <- c(rep.int(0,60-13), rep.int(1,13))
    markierte <- replicate(n, sum(
                     sample(x=gefischt,size=60,replace=TRUE)
                     ))
    par(mfrow=c(2,1))
    hist(markierte)
    qqnorm(markierte)
    return(mean(markierte))
}
bootstrap.mittel()


Der gebootstrapte Mittelwert ist also normalverteilt und entspricht dem Mittel der ursprünglichen Verteilung, so wie Du das erwartet hast.

Das Problem taucht auf, weil in dem von Dir verlinkten Beispiel nicht die Zahl der markierten Fische, sondern deren Kehrwert in dargestellt wird. Durch diese Kehrwertbildung wird aus dem normalverteilten Bootstrap-Sample eine nicht mehr normalverteilte Größe und deren Mittelwert macht dann eben die Sachen, die Du oben beobachtet hast: Der Kehrwert einer symmetrischen Verteilung ist nicht mehr symmetrisch verteilt:

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plot(density(1/rnorm(100000,10)))

LG,
Bernhard