STATISTIK-FORUM.de

[Isbjörn]

Hallo hier im Forum,

Ich habe hier ein wenig durch das Forum geforstet. Leider bin ich in der Statistik unbewandert, weshalb mir auch die Termini fehlen etwas brauchbares zu finden.
Mir fehlt der Ansatz zum Lösen folgender Problemstellung.

Die praktische Problemstellung ist heraus zu finden wie oft bei einem Training z.B. vier oder mehr Personen anwesend sind.
Es sei 20 Mal Training. Es gibt sieben potentielle Teilnehmer die mit einer abgeschätzten Wahrscheinlichkeit. Diese Wahrscheinlichkeit (Teilnahmewahrscheinlichkeit) habe ich aus der Anzahl des Erscheinens im Vorjahr durch Anzahl der Trainings errechnet (Ob das schon falsch ist weiß ich nicht, da es lt. stichproben und Hypothesen auch zu anderen "Wahrscheinlichkeiten" kommen kann, oder?).
Die Sieben sind mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten beim Training: {0.55, 0.75, 0.85, 0.8, 0.65, 0.5, 0.5}

Da ich nichts besseres weiß habe ich die mittlere Wahrscheinlichkeit berechnet (Summer der Wahrscheinlichkeiten/Anzahl der Personen). Um die mittlere Anzahl der Personen pro Training zu ermitteln habe ich dann wieder mit der Anzahl der potentiellen Teilnehmer multipliziert. Damit errechnet man 4.6 Teilnehmer. Danach wären immer mehr 4 Teilnehmer da, nie mehr und nie weniger. Bei 4.6 wären z.B. 12 Trainings mit 5 Leuten und 8 Trainings mit 4 Leuten rechnerisch möglich um auf diesen Schnitt von 4.6 zu kommen (4*8+5*12)/20=4.6. Auch 2 mal nur ein Teilnehmer und 18 mal 5 Teilnehmer macht im Schnitt 4.6. Man kann das weiter treiben. Aber mit den Informationen scheint es nicht eindeutig lösbar zu sein das folgende herauszufinden:

Wie komme ich zu einer Aussage wie oft 4 oder mehr Teilnehmer bei 20 Trainings anwesend sind? Kann man mit diesen Daten überhaupt eine solche Aussage ableiten? Was fehlt noch?

[bele]

Hallo Eisbär,

ist das eine Hausaufgabe oder geht es um die Beantwortung im echten Leben? Wenn das eine Hausaufgabe ist, dann nimmt man einfach an, dass das Fehlen der verschiedenen Teilnehmer zufällige voneinander unabhängige Ereignisse sind. Wenn es um das echte Leben geht, dann fehlen die nicht zufällig unabhängig: Dann gibt es Tage mit Fußballweltmeisterschaftsspielen am Abend zuvor oder mit Glatteis oder Brückentagen, an denen überzufällig viele gleichzeitig fehlen. Das musst Du dann erst zählen oder abwägen.

LG,
Bernhard

(PS: Rechne damit, dass bei 17,8% der Fälle höchstens drei Leute da sind, in 27,5% der Fälle genau 4 und 54,7% sogar mehr als vier - Unabhängigkeit vorausgesetzt.)

[PonderStibbons]

Vielleicht liege ich falsch, aber wenn p=0,657 der Erwartungswert ist,
kann man sich die Binomialverteilung für n=7 ansehen. Aus der ließe
sich ablesen, wie hoch der Anteil für mindestens 4 von 7 ist.

Just my 2pence

PonderStibbons

[bele]

@PonderStibbons: Bliebe bloß noch zu beweisen, dass die Mittelwertbildung der Einzelwahrscheinlichkeiten, bzw das Ersetzen der Einzelwahrscheinlichkeiten durch deren Mittelwert, ein legitimes Vorgehen ist.

Nehmen wir an, alle Teilnehmer hatten die Wahrscheinlichkeit 65% zu erscheinen, dann könnte man die Wahrscheinlichkeit, dass alle sieben kommen recht einfach berechnen und sie wäre größer als Null. Nehmen wir an, ein Teilnehmer hat die Erscheinenswahrscheinlichkeit von 0, aber der Durchschnitt ist immer noch 65%. Dann sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass alle sieben erscheinen auf Null. Der Durchschnitt der Einzelwahrscheinlichkeiten ist also kein ausreichendes Maß zum Berechnen der jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten. Eine gute Näherung stellt das Vorgehen schon dar, da die Einzelwahrscheinlichkeiten ja alle nicht groß vom Durchschnitt abweichen.

LG,
Bernhard

[bele]

Ich hab da mal eine kleine Simulation programmiert und vorbehaltlich möglicher Programmierfehler (ich hab noch anderes zu tun, also diesen Code zu optimieren) ist die Binomialfunktion eine ziemlich gute Näherung an die Wirklichkeit.

LG,
Bernhard

[Isbjörn]

Danke für die Anworten. Die sind sehr hilfreich.

Zur Klärung: Das ist eine Aufgabe aus dem waren Leben. Wir haben eine Sportgruppe, die gerade einige Leute verloren hat. Da stellte sich die Frage ob das weiter machen für den Rest noch Sinn macht. Wenn man oft mit weniger als 4 Leuten da steht wäre es besser man sucht etwas anderes. Nachdem Deutschland beim Fußball nur noch verliert ist die Annahme der zufälligen von einander unabhängigen Teilnahme annehmbar, oder?

Ich habe den ersten Ansatz versucht. Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeiten ist p= 0.657 mit Ne=7 habe ich die unten stehende Binomialverteilung errechnet.
(mit µ=Ne*p; sigma=Sqrt[p*Ne*(1-p)])

Errechnete Verteilung

binom.PNG (8.17 KiB) 1153-mal betrachtet

Diese integriert in den Grenzen von 4 bis 7 und dividiert durch das Integral in den Grenzen von 0 bis 7 (weil maximal 7 teilnehmen können) ergibt: 0.67. Damit wäre das Training nicht mehr sinnvoll.

Zweiter Ansatz:
a)
Das Bilden aller möglichen Kombinationen aus Teilnahmen und nicht Teilnamen für alle 20 Trainingstage und alle 7 Personen. Das übersteigt allerdings die Leistungsfähigkeit meines Rechners. Es gibt 1.28*10^9 Kombinationen. Die bräuchten abgeschätzt 65GB RAM um zum Ende zu kommen.
b)
Das ganze für 14 Trainingstage angesetzt, mit der Annahme, dass sich der prozentuale Anteil der Trainings mit mindestens vier Leuten nicht signifikant ändert, ergibt 0.84 als Anteil an Trainings die mindestens vier Teilnehmer haben.
Die simulierte Verteilung sieht dann so aus: Das scheint dem von bele recht ähnlich zu sein. Und die Summe von 4-7 ist mit 0.82 auch recht ähnlich.

Simulierte Verteilung

Kombinationen.PNG (5.46 KiB) 1153-mal betrachtet

Dritter Ansatz:
Numerische Simulation: Dabei habe ich einfach die Teilnehmer zufällig entsprechend ihrer Teilnahmewahrscheinlichkeit für ein Trainingstag genommen und die Anzahl berechnet. Das habe ich dann für eine hohe Anzahl wiederholt und die Summe an Training mit mindestens vier Leuten ins Verhältnis zu den Wiederholungen/Versuche gesetzt. Das konvergiert zu 0.82.

Welches Ergebnis stimmt jetzt?
Ich könnte mir vorstellen, dass der erste Ansatz nicht ganz falsch ist. Aber evtl. hat aufgrund der geringen Probenanzahl von 7 das Ergebnis einen recht geringen Konfidenzlevel. Leider habe ich keine Ahnung wie man den bestimmt. Oder habe ich in Ansatz eins etwas falsch gemacht?

Ein direkter Vergleich obiger Kurven zeigt keinen großen Unterschied. Die Ergebnisse (ich habe die Berechnung noch einmal kontrolliert und keinen Fehler gefunden) sind doch schon stark unterschiedlich. Bei dem ersten Ergebnis würde jedes dritte Training ausfallen. Bei den anderen Ergebnissen nur jedes 6. .

Kurvenvergleich

vgl.PNG (11.1 KiB) 1153-mal betrachtet

[PonderStibbons]

Ich habe den ersten Ansatz versucht. Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeiten ist p= 0.657 mit Ne=7 habe ich die unten stehende Binomialverteilung errechnet.

Ich hab's in einen online-Rechner gegeben. Bei Erwartungswert 0.657
und n=7 ist die Wahrscheinlichkeit für k >= 4 ca. 81%

[Isbjörn]

Hhhmm, dann stimmt etwas mit dem sigma oder der Integration nicht. Kannst du mir den Link schicken/posten? Evtl. steht da was zur Berechnung von sigma.

[bele]

Hallo Eisbär,

Leider bin ich in der Statistik unbewandert,...

Das Rechnen mit Computern scheint Dir aber nicht fremd zu sein. Für Deine Realworld-Frage ist dann ja alles klar: Rechnerisch ergibt sich eine Trainingswahrscheinlichkeit von >80%, wenn die Fehlereignisse zufällig sind. Sind sie nicht zufällig, dann wird es eher so sein, dass mehrere gleichzeitig fehlen, was die Trainingswahrscheinlichkeit tendenziell erhöht (meckern kann man ja nur an Tagen, an denen man selbst nicht fehlt. Wenn die Fehltage gleichzeitig liegen...).
Ob die Trainingswahrscheinlichkeit jetzt 82, 84 oder 85% beträgt, wird die Entscheidung der Teilnehmer über die Fortführung des Programms nicht wirklich verändern. Weitere Denkarbeit solltest Du vielleicht nicht in die Analyse eines online-Rechners sondern in eine Etablierung eines Frühwarnsystems stecken, in dem die Teilnehmer sich an- oder abmelden und jeder vor der Anreise zum Trainingsort weiß, ob heute das Training stattfindet oder nicht.

LG,
Bernhard

[PonderStibbons]

Hhhmm, dann stimmt etwas mit dem sigma oder der Integration nicht. Kannst du mir den Link schicken/posten? Evtl. steht da was zur Berechnung von sigma.

Nein, der gibt einfach nur den Flächenanteil der Binomialverteilung aus
für n=7, k>= 4 und Einzelwahrscheinlichkeit = 0,657,
z.B. http://matheguru.com/stochastik/105-bin ... ilung.html

Mit freundlichen Grüßen

P.