STATISTIK-FORUM.de

[Schmenger]

Hallo zusammen,

ich bin neu hier und das ist meine erste Frage:

Ich nehme an, ich habe einen Zahlenraum von 1 - 19. Ein Losverfahren wirft Zahlen innerhalb des Raumes mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus ( Laplace ? ). Wie viele Durchgänge werden durchschnittlich benötigt, bis jede Zahl aus dem Zahlenraum einmal geworfen wurde.

Wie berechnet man sowas ?

Ist wahrscheinlich ganz trivial; ich habe eine Weile recherchiert ohne hierzu was zu finden. Daher die Frage hier im Forum.

Vielen Dank im voraus für Eure Antworten
Schmenger

[mango]

Hallo, trivial ist dieses Problem sicher nicht. Ein paar Überlegungen zu dem Problem (ohne dass ich eine Lösung parat hätte):

Klar ist ja, dass die Wahrscheinlichkeit des gefragten Ereignisses in 19 Ziehungen sehr klein ist (genauer gesagt: ) (wenn n die Zahl der Ziehungen mit Zurücklegen ist). Wird n größer, steigt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (bzw. die Ereignismenge) aber sehr schnell an. Ich kenne die dafür relevante Stochastik nicht gut aber würde mal intuitiv sagen, dass für p asymptotisch gegen 1 geht, mit welchem Verlauf auch immer.

Wie man die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt, würde mich auch sehr interessieren. Hat dazu jemand etwas parat?

[bele]

Ist die Frage von akademischem Interesse oder soll damit ein bestimmtes konkretes Problem gelöst werden?

LG,
Bernhard

[Schmenger]

Hallo zusammen,

zuerst mal danke schön für die bisherigen Antworten.

Es geht hier um eine reale Fragestellung, die sich ergeben kann, wenn man z.B. etwas sammelt.
Ich nehme mal als Beispiel die bekannten Panini Sammelalben. Wenn man berechnen kann, wie lange man braucht, um voraussichtlich jedes Bild einmal zu bekommen, kann man errechnen, was so eine Sammlung denn kosten würde.

Das man hier auch tauschen kann oder das nicht alle Teile gleich oft verfügbar sein könnten lasse ich bewusst außen vor.

Viele Grüße
Schmenger

[bele]

Für den konkreten Fall könnte man, solange kein fachkundiger Mathematiker mit einer eleganten Lösung um die Ecke kommt, eine Computersimulation schreiben.

Etwa in der Programmiersprache R von http://www.r-project.org und dann etwa so:

Code: Alles auswählen

wieviele <- function(){
    zufallsfolge <- sample(1:19, 10000, replace=TRUE)
    max(match(1:19, zufallsfolge))
}

ergebnis <- replicate(10000, wieviele())


Die Funktion wieviele() zieht bei jedem Aufruf eine zufällige Folge von Zahlen zwischen 1 und 19, und zwar jedes mal 10.000 Stellen lang. Dann schaut sie mithilfe der Funktion match() für alle Zahlen von 1 bis 19, wann sie das erste Mal vorkommen und nimmt von diesen Ergebnissen das Maximum als Rückgabewert. Die letzte Zeile ruft nun diese Funktion wieviele() 10.000 Mal auf und erhält so aus 10.000 Versuchen die Zahl der nötigen Ziehungen bis jede Zahl einmal dran war. Die Rechendauer beträgt auf meinem Laptop im Akkumodus unter 5 Sekunden.

Hier eine Zusammenfassung des Ergebnisses:

Code: Alles auswählen

> summary(ergebnis)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
  26.00   51.00   63.00   67.35   79.00  258.00


Im Median also 63 Ziehungen, im Durchschnitt 67,35.
Hoffe, dass Dir in Deinem konkreten Anwendungsfall damit geholfen ist. Sollte einmal nicht alle Paninibilder gleich wahrscheinlich auftreten, dann bietet die oben verwendete Funktion sample() eine recht elegante Möglichkeit, die verschiedenen Werte mit verschiedenene Wahrscheinlichkeiten zu versehen. Die muss man halt kennen.

LG,
Bernhard

[Schmenger]

Hallo bele,

vielen herzlichen Dank für Deine Antwort, das hilft mir weiter

Die Paninis waren übrigens nur ein Beispiel, man könnte das auch mit Ü-Eiern usw machen.
Ich hatte die Fragestellung im Laufe der Jahre schon einige Male und wusste nie eine Antwort. Jetzt wollte ich doch mal am Ball bleiben, bis ich es weiß.

Danke nochmal und Allen ein schönes Wochenende
Schmenger

[bele]

Die Paninis waren übrigens nur ein Beispiel, man könnte das auch mit Ü-Eiern usw machen.

Das hatte ich schon richtig verstanden. Mir ging es um die Frage, ob Dir eine Monte-Carlo-Schätzung für diese konkreten Zahlen ausreicht, oder ob Du eine rechnerische Antwort brauchtest (sei es, um die Frage für Zahlen weit größer als 19 zu berechnen oder weil Du mathematisch exakte Wege brauchst oder ob Du eine Formel brauchst, die Du umstellen kannst oder ...). Simulationen taugen ja nur um konkrete Zahlen zu erstellen, nicht für tiefere Gedanken über Zusammenhänge. Beim nächsten Mal kannst Du ja Deine eigene Simulation mit dann konkreten Zahlen rechnen.

LG,
Bernhard


@Heinz_Stat: Lässt sich aus diesem Gedanken eine Lösung des Problems entwickeln?

[mango]

Hallo Bernhard,
auch nicht so direkt. Diese einfache Frage ist dann doch ziemlich vertrackt. Wären es 4 statt 19, könnte man noch von Hand die möglichen unerwünschten Kombinationen aufzählen, aber dann hat man immer noch nicht die mittlere Anzahl der Versuche...
Eine Monte-Carlo-Simulation klingt nach einer guten Idee.
Viele Grüße,
Heinz

Wenn man eine analytische Lösung für 4 gefunden hat, lässt sich die ja auch auf 19 übertragen. Das Problem ist meines Erachtens, dass wir keinen Anhaltspunkt für die Modellierung der Verteilungseigenschaften der betreffenden Variable haben.