STATISTIK-FORUM.de

[Fragender90]

Hallo liebes Forum,

ich habe eine Frage zum zentralen Grenzwertsatz bzw. zum t-/z-Test.

Ich habe gelernt, dass wenn man aus einer beliebig verteilten Population wiederholt Stichproben der Größe n > 30 zieht, die Mittelwerte dieser gezogenen Stichproben normalverteilt sind.

Bei meinen Statistikaufgaben steht, dass man bei einer Stichprobe von n > 30 von Normalverteilung ausgehen kann und daher den z-Test verwenden kann, während man bei Stichproben < 30 den t-Test verwenden soll.

Was ich nun nicht verstehe: Der zentrale Grenzwertsatz sagt, dass Normalverteilung bei der Mittelwertsverteilung VIELER gezogener Stichproben auftritt; bei meinen Statistikaufgaben hingegen wirkt es so, als sei EINE Stichprobe >30 normalverteilt, egal, wie die Populationsverteilung ist.

Wie ist das zu vereinbaren?!

Danke

Fragender90

[PonderStibbons]

Bei meinen Statistikaufgaben steht, dass man bei einer Stichprobe von n > 30 von Normalverteilung ausgehen kann

Steht da konkret, worauf sie das beziehen?

und daher den z-Test verwenden kann,

Der Knackpunkt bei z- versus t-Test ist doch, ob die Streuung in der
Grundgesamtheit bekannt ist oder nicht.

bei meinen Statistikaufgaben hingegen wirkt es so, als sei EINE Stichprobe >30 normalverteilt, egal, wie die Populationsverteilung ist.

Kann sein, dass sie da was durcheinander gebracht haben.

NB, t-Tests bei n < 30 geht auch nur, wenn die beiden GrundgesamtheitEN
jeweils normalverteilt sind, was man in der Regel weder herleiten noch
überhaupt zuverlässig testen kann.

Mit freundlichen Grüßen

PonderStibbons

[mango]

Hallo,

als Ergänzung zur Verständlichkeit: die Gegenüberstellung von t-Test und z-Test aus dem Eingangsbeitrag ist tatsächlich nicht korrekt. Es geht wohl um die Unterscheidung zwischen t-Verteilung (Stichprobenkennwerteverteilung für kleine n, wenn das Merkmal in der Grundgesamtheit normalverteilt ist) und Standardnormalverteilung (Stichprobenkennwerteverteilung für große n unabhängig von der Verteilung des Merkmals in der Grundgesamtheit). Dies ist aber konzeptionell bereits beim t-Test vorgesehen. Als z-Test wird der Test bezeichnet, wenn die Streuung in der Grundgesamtheit bekannt ist.

Zur eigentlichen Frage: Das ist ein Denkfehler. Die Stichprobenkennwerteverteilung ist ganz einfach definiert als die Verteilung der Mittelwerte für "viele" Stichproben, also eine gegen unendlich gehende Anzahl. Diese Verteilung ist wichtig, um dann den einen Stichprobenkennwert, den du hast, induktivstatistisch zu interpretieren.

[Fragender90]

Danke ihr beiden für eure Antworten. Ich glaube nun hat es "Klick" gemacht. Ich fasse es nochmal so zusammen, wie ich es nun verstanden habe.

Mein Denkfehler war bisher, dass ich dachte, dass die EINE Stichprobe, die man für seine Hypothesenüberprüfung aus einer beliebig verteilten Population zieht, normalverteilt ist, sofern n > 30.

Tatsächlich ist es aber so, dass man immer mit der Stichprobenverteilung der Mittelwerte (also der z- bzw. t-Verteilung) arbeitet, und mit der aus der EINEN Stichprobe berechneten Teststatistik arbeitet, und diese Teststatistik in die z- bzw t-Verteilung "einordnet".

Wenn man nun z.B. eine Stichprobe der Größe n = 16 zieht, arbeitet man mit der t-Verteilung, die für Stichproben der Größe n = 16 gilt; wenn man eine Stichprobe der Größe n = 17 zieht, dann arbeitet man mit der t-Verteilung, für die n = 17 gilt etc.

Die t-Verteilung für n = 17 ergibt sich folgendermaßen: wenn man "unendlich" viele Stichproben der Größe n = 17 zieht und jeweils deren Mittelwerte berechnet, dann verteilen sich die Mittelwerte in eben der Form, wie es in dieser t-Verteilung gegeben ist.

Ab Stichprobengrößenn von n = 30 ist die t-Verteilung eine ziemlich gute Annäherung an die Normalverteilung (bzw. z-Verteilung), sodass man ab dann auch die z-Verteilung und somit den z-Test anstelle von t-Verteilung/t-Test nutzen kann.


Sind meine Aussagen so richtig?

Danke nochmals und viele Grüße

Fragender90

[mango]

Ja, im Wesentlichen ist das alles richtig so. Allerdings ist außerdem noch zu berücksichtigen, dass bei kleinen n die Verteilung der Grundgesamtheit stärker ins Gewicht fällt. D. h. bei Abweichungen von der Normalverteilung in der Grundgesamtheit sind auch die Stichprobenmittelwerte nicht t-verteilt.