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[Blech]

Ihr Lieben,

ich brauche dringend Hilfe!

Berechnen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln den Ausdruck (1+x)^3. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck so, dass die Potenzen von x aufsteigend sortiert sind. Verwenden Sie dann den Wert x=1/10, um den exakten Wert zu berechnen. Indem Sie im allgemeinen Ausdruck alle Terme bis zur linearen/quadratischen Ordnung in x verwenden, können Sie den Ausdruck (1+x)^3 in linear/quadratischer Näherung berechnen. Berechnen Sie die lineare/quadratischen Näherung und vergleichen Sie diese mit der exakten Lösung. Berechnen Sie im Intervall 0<=x<=1 die maximale Abweichung der linearen und quadratischen Näherung von (1+x/a)^3 in Abhängigkeit von a>1.

Teil 1 ist ja kein Problem (ersten 3 Sätze) --> 1 + 3x + 3x^2 + x^3 (für 1/10 = 1,331).

Aber was wird danach verlangt? Ich verstehe es einfach nicht.. Als Ansatz habe ich das hier:

Ich soll nur 3x und 3x^2 aus dem allg. Ausdruck verwenden, richtig? Aber wie kann ich damit dem Ausdruck in der Näherung berechnen?
Und ist die exakte Lösung 1,331 (s.o.)?
Ok und das mit dem Intervall habe ich überhaupt noch nicht verstanden..




Ich danke euch vieeelmals!
LG

[maf_]

Hallo Blech,

Bei den Näherungen geht es darum, eine generelle Vorstellugn von dem Problem zu bekommen und irrelevante Teile zu ignorieren. Jetzt kommt es darauf an, aus welchem Teil (der Mathematik und der Anwendung) das Problem kommt. Ganz allgemein gibt es zwei verschiedene Ansätze für diese Art von Fragestellung:

1. Ausgehend vom führenden Term -- in diesem Fall wäre das
2. Aufsteigend -- so wie du das schon verstanden hast :

Wenn du nur eine Vorstellung davon haben willst, was ungefähr passiert, dann ist natürlich 1. der Fall der Wahl; ob da noch eine Konstante draufaddiert wird ist für den Verlauf egal.

Du benötigst aber 2.
In deinem Fall ist das Intervall gewählt. Wenn du dir ansiehst, was da mit deiner Funktion passiert, wirst du sehen, dass der führende Term für schneller gegen 0 läuft als die restlichen Terme. Also ist für .
Und wenn du das erstmal mit der orginal Funktion verglichen hast (vielleicht einfach durch eine Differenz), setzt du für die Näherung ein, formst das kurz um und stellst im besten Fall den Parameter a noch heraus.