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[Rübezahl]

Hallo Forum,

Ich habe das Buch "Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften von Klaus Neusser (3.Aufl.) " vor mir.
Ich versuche, bisher erfolglos, nachzuvollziehen wie man rechnerisch von einem Moving-Average-Prozess auf dessen Autokovarianzfunktion kommt. Im Buch sind die Rechenschritte leider nicht ausführlich genug für mich. Hoffe jemand von euch wird daraus schlau (oder war es schon vorher ^^).



Auf Seite 10 definiert Neusser die Autokovarianzfunktion von {Xt} durch:

(E Erwartungswert)

Yx(t,s) = cov(Xt,Xs) = Ε [ (Xt - EXt) (Xs - EXs) ] = EXtXs - EXtEXs



Auf Seite 14 definiert er das Weiße Rauschen:

{Zt} heißt Weißes Rauschen … falls {Zt} stationär ist und gilt:


1. EZt = 0
2. Yz(h)= Funktion{σ² für h = 0; {0 für h ≠ 0.


"Dieser Sachverhalt wird mit Zt ~ WN(0,σ²) bezeichnet."
(h=t-s)

.
.
.

"Der "Moving-Average"-Prozess erster Ordnung. MA(1)-Prozess, entsteht aus dem Weißen Rauschen durch die folgende "Durchschnittsbildung": "

Xt = Zt + ϴZt-1 mit Zt ~ WN(0,σ²).

"Klarerweise gilt: EXt = 0. Der Mittelwert ist also konstant. Die Autokovarianzfunktion wird berechnet aus:

Yx(t+h,t) = cov(Xt+h , Xt)
= cov (Zt+h + ϴZt+h-1 , Zt + ϴZt-1)
= EZt+hZt + ϴEZt+hZt-1 + ϴEZt+h-1Zt + ϴ²EZt+h-1Zt-1.

"Berücksichtigt man, dass EZt²=σ² und EZtZt+h = 0 für h≠0, so ergibt sich die Autokovarianzfunktion von {Xt} wie folgt:"

Yx(h) = Funktion { (1+ϴ²)σ² für h=0; {ϴσ² für h±1; {0 für sonst.

Diesen Schritt kann ich nun nicht nachvollziehen. Woher kommen die Ausdrücke EZt²=σ² und EZtZt+h=0 und wie genau "ergibt" sich die Autokovarianzfunktion rechnerisch aus der vorangegangenen Gleichung?

Schönen Gruß,
Rübi