STATISTIK-FORUM.de

[0skarina]

Hallo Zusammen,

ich möchte eine Frage zu meinem Versuchsaufbau bzw. zur Bestimmung einer Stichprobengröße loswerden. Würde mich über ein paar Anregungen freuen.

Ich stehe vor einem riesigen Sack von ca. 1000 kg Erbsen (die absolute Zahl an Erbsen kenne ich nicht, sondern kann diese nur Abschätzen). Mir wurde gesagt, dass auf eine Million Erbsen ca. 50-200 schlechte Erbsen dabei sind.
Wie groß muss ich meine Stichprobe machen, damit ich den Wert der schlechten Erbsen aus dem Sack statistisch auf +/- 10 ppm bestimmen kann?

Ich könnte mir ja mit einer Probe aus dem Erbsensack eine durchschnittliches Erbsengewicht errechnen. Die schlechten Erbsen sind im Verhältnis zu den guten Erbsen vernachlässigbar leicht und eh nur in sehr geringer Konzentration vorhanden. Aber die Gewichtsanteile helfen nur bei unterscheidlichen Erbsengewichten?

Danke für ein paar Anstöße!

[0skarina]

Um mein Problem neu zu formulieren:

Der Erbsensack enthält 2 Mio. Erbsen. In dem Sack befinden sich auch eine unbekannte Zahl vergammelter Erbsen.

Wie kann ich in einem solchen Fall eine minimale Probengröße bestimmen, die ich aus dem Sack ziehen muss, mit der ich über Auszählen die Kontamination des Erbsensacks insgesamt zuverlässig (>95% Konfidenz) bestimmen kann?

[bele]

Hallo Oskarina,

sagen wir, Du hast 1 Mio Erbsen und jede von denen hat immer das gleiche Risiko , eine schlechte Erbse zu sein. In Deinem Fall mag sein. Du ziehst nun Erbsen und beobachtest darin schlechte Erbsen. Dann folgt einer Binomialverteilung und "binomial" sollte Teil der Suchbegriffe sein, mit denen Du Dich dem Problem näherst.

Ich benutze gerne das kostenlose Statistikprogramm R, das man sich von http://www.r-project.org herunterladen kann. Nehmen wir an, Du hast 100.000 Erbsen untersucht und darin 10 schlechte gefunden. Dann würde ich in R folgendes eingeben:

Code: Alles auswählen

binom.test(x=10, n=100000)$conf.int

und R würde antworten:

Code: Alles auswählen

[1] 0.0000479549 0.0001838958

Das bedeutet: Das 95%-Konfidenzintervall für , also den wahren Anteil an schlechten Erbsen liegt nach dieser Beobachtung zwischen 0,000048 und 0,00018, d. h. zwischen 0,0048 % und 0,018%. Statt in Prozent kannst du das auch in ppm umrechnen. Du hast nun einerseits die Wahl, mit verschiedenen und herumzuspielen bis Du zu dem Schluss kommst, dass bei einem bestimmen die Präzision der Bestimmung (die Weite des Konfidenzintervalls) ausreicht.

Alternativ beschäftigst Du Dich mit der Binomialverteilung und mit sog. Poweranalysen zur Fallzahlbestimmung. Dann umgehst Du den Bereich des "Herumprobierens", musst Dich aber mit mehr theoretischen Konzepten wie Poweranalyse, Effektstärkemaße etc. beschäftigen.

HTH,
Bernhard

[strukturmarionette]

Hi,

- zur Vertiefung und Ergänzung zum Grundverständnis könnte die Hypergeometrische Verteilung eine Rolle spielen.

Gruß
S.

[0skarina]

Hallo bele, hallo strukturmarionette,

vielen Dank für eure Antworten. Ich habe mich tatsächlich eingelesen, um mich der Thematik (wieder) zu nähern.
Also, ich habe eine dichotome Grundgesamtheit und eine hypergeometrische Verteilung der Grundgesamtheit (ich lege nicht zurück).

Angenommen ich könnte aus Erfahrung sagen, dass es in dem Erbsensack zwischen 50 und 150 schlechte Erbsen pro 1 Mio. Erbsen gibt.
...und ich ziehe eine Stichprobe, dann wäre doch das zu erwartende arithmetische Mittel der Stichprobe X̅ = [0,00005 + 0,0002]/2= 0,000125...und damit als geschätzte Gesamtkontamination zu interpretieren. Oder?

Kann mir dieses Schätzintervall der Erbsenkontamination auch als Länge L meines Konfidenzintervalls dienen? D.h. L = 0,000125

Bei meiner Recherche bin ich darauf gestoßen, dass mir die Standardabweichung als Schätzer der Stichprobenvarianz dienen kann, über die Formel im Bildlink: https://ibb.co/rF571Yf
Die Stichprobengröße würde sich dann in Abhängigkeit der geschätzten Stichprobenvarianz, Länge des Konfidenzintervalls und z als das jeweilige Fraktil der Normalverteilung ergeben...
Ist der Ansatz aus eurer Sicht in Ordnung?

[0skarina]

Hallo Oskarina,

sagen wir, Du hast 1 Mio Erbsen und jede von denen hat immer das gleiche Risiko , eine schlechte Erbse zu sein. In Deinem Fall mag sein. Du ziehst nun Erbsen und beobachtest darin schlechte Erbsen. Dann folgt einer Binomialverteilung und "binomial" sollte Teil der Suchbegriffe sein, mit denen Du Dich dem Problem näherst.

Ich benutze gerne das kostenlose Statistikprogramm R, das man sich von http://www.r-project.org herunterladen kann. Nehmen wir an, Du hast 100.000 Erbsen untersucht und darin 10 schlechte gefunden. Dann würde ich in R folgendes eingeben:

Code: Alles auswählen

binom.test(x=10, n=100000)$conf.int

und R würde antworten:

Code: Alles auswählen

[1] 0.0000479549 0.0001838958

Das bedeutet: Das 95%-Konfidenzintervall für , also den wahren Anteil an schlechten Erbsen liegt nach dieser Beobachtung zwischen 0,000048 und 0,00018, d. h. zwischen 0,0048 % und 0,018%. Statt in Prozent kannst du das auch in ppm umrechnen. Du hast nun einerseits die Wahl, mit verschiedenen und herumzuspielen bis Du zu dem Schluss kommst, dass bei einem bestimmen die Präzision der Bestimmung (die Weite des Konfidenzintervalls) ausreicht.

Alternativ beschäftigst Du Dich mit der Binomialverteilung und mit sog. Poweranalysen zur Fallzahlbestimmung. Dann umgehst Du den Bereich des "Herumprobierens", musst Dich aber mit mehr theoretischen Konzepten wie Poweranalyse, Effektstärkemaße etc. beschäftigen.

HTH,
Bernhard

Hi Bernhard,

ich verstehe nicht, warum R eine Binomialverteilung nutzt. Sollte das nciht die hypergeometrische Verteilung sein?
Ich ziehe ja auf ein Mal, ohne Zurücklegen eine Hand voll Erbsen.

[bele]

ich verstehe nicht, warum R eine Binomialverteilung nutzt. Sollte das nciht die hypergeometrische Verteilung sein?

Hallo 0skarina,

das ist nicht der Fehler von R, sondern mein Fehler. Wenn Du Deinem Erbsensack eine Erbse entnimmst, ändert das an den Wahrscheinlichkeiten fast nichts. Wenn Du natürlich einen erheblichen Anteil der 1 Mio. Erbsen entnimmst hast Du Recht, dann kann man irgendwann die Binomialverteilung nicht mehr als Näherung der hypergeometrischen Verteilung verwenden.

Während es für R natürlich auch viele Funktionen zur Beschreibung hypergeometrischen Verteilungen gibt war ich noch nie in der Situation, wo zwischen beiden ein quantitativ relevanter Unterschied bestand und ich mich näher damit hätte beschäftigen müssen. Daher bin ich hier wohl der falsche Ratgeber.

LG,
Bernhard