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[Mofflerin]

Hallo,

der kleinste Wert den die Standardabweichung SD im Allgemeinen annehmen kann, ist Null (nämlich, wenn alle Untersuchungseinheiten den gleichen Wert haben).

Habe mich gefragt, ob man allgemein sagen kann, wie groß der Wert ist den SD maximal annehmen kann. Auf jeden Fall muss der Wert von SD kleiner sein als der größte Codierungswert. Hätte es aber gern noch etwas genauer.

Wie könnte ich berechnen oder ggf. schätzen, wie goße der Wert von SD hypothetisch maximal sein kann? (d.h. bei gegebener Skala und, sofern erforderlich, gegebenem n).

Hat jemand eine Idee oder kennt sogar die Lösung?

Besten Dank und Grüße
Mofflerin

[PonderStibbons]

50% haben den maximalen Wert, 50% den minimalen Wert.

Mit freundlichen Grüßen

PonderStibbons

[Mofflerin]

50% haben den maximalen Wert, 50% den minimalen Wert.

Mit freundlichen Grüßen

PonderStibbons

Ja, aber das ist keine mathematisch korrekte/konkrete Definition.

Habe es mal für mehrere Beispiele durchgerechnet:

• Skala von 1 bis 5, 50% hat den Wert 1, 50% den Wert 5: SD=2.1
• Skala von 1 bis 100, 50% hat den Wert 1, 50% den Wert 100: SD=52.178
• Skala von 1 bis 3, 50% hat den Wert 1, 50% den Wert 3: SD=1.0541

Allerdings spielt das n auch eine Rolle. O.g. Werte ergeben sich bei einem n von 10. Habe es für das dritte Beispiel für ein n von 20 ausgerechnet, dann ändert sich auch SD.

***

Gibt es denn keine Formel, wie man SD_max mathematisch definieren kann? Oder wenigstens eine Heuristik?


Also in Etwa so:

SD ist max der Differenz von Maximalwert und Minimalwert dividiert durch n multipliziert mit e^pi (so etwas in der Art, das ist nur ein fiktives Beispiel).

[PonderStibbons]

Du hattest weder nach einer mathematischen Definition, noch nach einer Formel gefragt.

Die Formel der Standardabweichung ist für geradzahlige n (Maximum - Minimum) / 2.

Habe es mal für mehrere Beispiele durchgerechnet:

Nicht Du, sondern Deine Software, nehme ich an. Das ist der Stichproben-Schätzer für die Standardabweichung.
Der errechnet sich aus der Wurzel des Schätzers für die Varianz.
Bei geradzahligem n
WURZEL{ n*([Minimum-Maximum]/2)² / (n-1) }
(ohne Gewähr für die ganzen Klammern)

[bele]

WURZEL{ n*([Minimum-Maximum]/2)² / (n-1) }
(ohne Gewähr für die ganzen Klammern)

ist das so korrekt informelschreibweise übertragen?:

[Mofflerin]

Du hattest weder nach einer mathematischen Definition, noch nach einer Formel gefragt.

Die Formel der Standardabweichung ist für geradzahlige n (Maximum - Minimum) / 2.

Habe das mal mit einem kleinen Testdatensatz durchgerechnet, mit zehn Fällen mit den Variablenwerten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9, 10.

Die o.g. Formel kommt auf den Wert 4.5, meine Software auf den Wert. 3.0.

Jetzt stellt sich die Frage, mit welcher Formel meine Software rechnet.

Habe es mal für mehrere Beispiele durchgerechnet:

Nicht Du, sondern Deine Software, nehme ich an. Das ist der Stichproben-Schätzer für die Standardabweichung.
Der errechnet sich aus der Wurzel des Schätzers für die Varianz.
Bei geradzahligem n
WURZEL{ n*([Minimum-Maximum]/2)² / (n-1) }
(ohne Gewähr für die ganzen Klammern)

Ich glaube, ich muss mir noch mal klar machen, was der Unterschied zwischen SD und Stichproben-Schätzer für die SD ist, und das ein oder andere "zu Fuß" nachrechnen.

Bis dahin bedanke ich mich für Deinen wertvollen Input.

[bele]

Wenn Du eine Gruppe von 5 Werten hast, dann kannst Du deren Varianz berechnen, indem Du die gemittelten quadratischen Abweichungen vom Mittelwert durch 5 teilst. Das ist dann genau deren Varianz und daraus kannst Du genau deren Standardabweichung durch Wurzelziehen berechnest.

Gibt es eine große Zahl von Werten, von denen Du nur eine Stichprobe der Größe n = 5 siehst, dann kannst Du entweder Varianz und Standardabweichung dieser Stichprobe exakt berechnen oder die Varianz/Standardabweichung in der großen Wertemenge schätzen. Da musst Du annehmen, dass die Varianz in der großen Zahl der Werte eher größer ist als in der Stichprobe. Daher teilt man für die Schätzung der Varianz in der Grundgesamtheit nicht durch 5 sondern nur durch 5 - 1 = 4

Wenn man in R beispielsweise die Funktion sd verwendet, dann ist das die Variante mit dem (n-1) im Nenner ohne dass die eingebaute Anleitung auf eine Funktion verweisen würde, die die Variante mit dem n nutzt.

In diesem Sinne war in Deinem Eingangspost "SD" unzureichend definiert, was sich aber bei großen n rasch relativiert. Die deutsche Wikipedia schreibt dazu:

Weder die Notation noch die Sprechweise für die verschiedenen Definitionen der Stichprobenvarianz sind einheitlich und eine regelmäßige Quelle von Irrtümern

https://de.wikipedia.org/wiki/Stichprob ... tzfunktion)

LG,
Bernhard