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[Isbjörn]

Hallo zusammen,

ich habe ein technisches Problem bei dem ich bestimmen möchte wie hoch die "Gewinnchance" ist. Ich übersetzte das mal als Spiel. Ich gehe davon aus, dass die Gewinnchancen immer gleich sind.
Das "Spiel" geht wie folgt:
Eine Runde hat fünf Züge, die Runde gilt als gewonnen, wenn einer der Züge gewinnt. Egal welcher, ob der erste oder fünfte Zug.
Es wurden 506 Runden gespielt. Davon wurden 32 Runden gewonnen, also einer der Züge war ein Gewinn. Es ist nicht bekannt bei welchem Zug in der Runde gewonnen wurde.
Wie hoch ist die Gewinnchance bei einem einzelnen Zug?

Ich habe eine simulierte Lösung und eine Reihe Ergebnisse aus diversen Lösungsversuchen. Die passen leider nur grob zusammen und immer kommt ein bisschen was anderes raus. Ich dachte das wäre relativ einfach über Kombinatorik lösbar. Das passt aber auch nicht richtig. Vielleicht ist auch meine simulierte Lösung falsch. Nun komme ich nicht zu einer Schlussfolgerung.

Wie ist die Gewinnchance pro Zug richtig zu berechnen? (Fünf Züge, ein Zug muss gewinnen für den Gewinn der Runde, 32 Runden innerhalb der fünf Züge gewonnen aus 506 Runden)

[bele]

Hi!

Wahrscheinlich ist eine Runde auch dann gewonnen, wenn mehr als ein Zug gewinnt. In solchen Fällen ist es oft sinnvoll über die andere Seite zu rechnen, also wie oft keiner von 5 Zügen gewinnt. Ich übersetze mal:
In 506 minus 32 gleich 474 Runden gab es keinen einzigen Gewinn. 474 / 506 = 93,7%

Gesucht ist also die Binomialverteilung, in der die Chance auf 0 von 5 Treffern 93,7% ist. Das bringt uns zu einer pro-Zug-Wahrscheinlichkeit von etwa 1,29%:

Code: Alles auswählen

> dbinom(0, 5, .01293)
[1] 0.9370004

Geht das so für Dich auf?
LG,
Bernhard

[Isbjörn]

Ich habe versucht heraus zu bekommen was dbinom mathematisch tut, denn ich verfüge "nur" über Mathematica. Die zu findende Doku in R beschreibt die Anwendung allerdings nicht den mathematischen Formalismus dahinter. Denn der Wert passt nicht ganz.
Ich habe das jetzt so verstanden:
Also n=5, k=0, gesucht p für P(binomial(5,0,p))=(506-32)/506
macht: (1-p)^5=237/253
p=0.0129809
Das passt jetzt sehr gut zur Simulation.

Witziger Weise kommt 5*p=32/506 auch fast hin: 0.012648 (ODER Verknüpfung der Wahrscheinlichkeit p). Ist aber anscheinend nur Zufall.
Auch: p*(1 - p)^5 == 32/(5*506) mit p=0.01354, kommt na ja fast hin. (Wahrscheinlichkeit innerhalb von fünf Zügen einmal zu verlieren, wobei bei den 32 "Gewinnen" nicht bekannt war wann gewonnen wurde, würde immer beim 4. Zug gewonnen haben wäre p*(1 - p)^5 == 32/(5*506+4*32) mit p=0.012849 zu rechnen.)

Der richtige Weg ist also eine UND Verknüpfung der "Verlierschance". Die Verlierchance ist (1-p) die UND Verknüpfung heißt Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten. Das muss zur Verlierquote passen (474/506). Trotz der kleinen Wahrscheinlichkeit liegt der Schlüssel in den Mehrfachgewinnen bei 5 Zügen um den exakten Wert für p zu erhalten.
Die Gewinnchance ist dann p.

[bele]

Hallo,

Ich habe versucht heraus zu bekommen was dbinom mathematisch tut

Sorry, ich hatte schon vor einen Text zu schreiben, der ohne Code verständlich ist und den Code nur als Deko dazu. Du hast aber richtig gefunden, dass dbinom nur die Binomialverteilung abfragt. Die Zahlen passen nicht, weil Du das p präziser bestimmt hast als ich.

p=0.0129809
Das passt jetzt sehr gut zur Simulation.

Das ist immer wieder beruhigend.

Witziger Weise kommt 5*p=32/506 auch fast hin. [...] Ist aber anscheinend nur Zufall.
[...]
Trotz der kleinen Wahrscheinlichkeit liegt der Schlüssel in den Mehrfachgewinnen bei 5 Zügen um den exakten Wert für p zu erhalten.

Genau, für das korrekte Ergebnis muss man die Option von Mehrfachtreffern in einer 5er-Gruppe berücksichtigen, aber bei so kleinen p ist die Gefahr von Mehrfachtreffern klein, weshalb man auch mit der Rechnung die sie außen vor lässt schon ziemlich gut trifft.
Bei größeren p wäre auch das Risiko von Mehrfachtreffern relevanter.

LG,
Bernhard

[Isbjörn]

Das ist noch mal eine gute Erklärung. DANKE!