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felix12 · von **felix12** » Fr 15. Jun 2012, 23:48

Hallo, ich hoffe, dass man hier Hilfe bekommen kann.

Gefragt ist:

Welche Beziehung besteht zwischen den Scores der van der Waerden-Teststatistik und denen der Fisher-Yales-Teststatistik?

1.) van der Waerden-Teststatistik

$X=\sum_{i=m+1}^{N}\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{N+1}\right)=\sum_{i=1}^{N}\Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)\cdot V_i$ , wobei $\Phi^{-1}$ die Inverse der standardisierten Normalverteilung und $R_i$ den Rang von $X_i, i=m+1,\hdots,N$ bezeichnen.

2.) Fisher-Yales-Teststatistik

$W=\sum_{i=m+1}^{N}E(Z_{(R_i)})=\sum_{i=1}^{N}E(Z_{(i)})\cdot V_i$ , wobei $E(Z_{(i)})$ der Erwartungswert der i-ten geordneten Statistik $Z_{(i)}$ aus einer standardnormalverteilten Grundgesamtheit ist. Es gilt $V_i=1$ , wenn die i-te Variable der kombinierten geordneten Stichprobe zu $X_{m+1},\hdots,X_{N}$ gehört und $V_i=0$ , wenn sie zu $X_1,\hdots,X_m$ gehört.

Ich soll also jetzt die Frage beantworten, welche Beziehung zwischen $\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{N+1}\right)$ und $E(Z_{(R_i)})$ besteht.

Meine Ideen:

Kann es sein, dass die gesuchte Beziehung zwischen den Scores darin besteht, daß sie asymptotisch übereinstimmen?

In Büning/Trenkler lese ich nämlich sinngemäß Folgendes:

Einerseits:

$\Phi(Z_{(i)})$ ist die i-te geordnete Statistik einer Stichprobe aus einer über [0,1]-gleichverteilten Grundgesamtheit (das folgt daraus, daß unabhängig vom Verteilungstyp einer Zufallsvariablen $X$ immer $F(X)$ gleichverteilt auf [0,1] ist).

Für diese neue Zufallsvariable gilt: $\Phi(Z_{(i)})\sim \operatorname{Beta}(i,N-i+1)$ und

$E(\Phi(Z_{(i)}))=\frac{i}{N+1}, \operatorname{Var}(\Phi(Z_{(i)}))=\frac{i(N-i+1)}{(N+1)^2(N+2)}$ .

Da $\operatorname{Var}(\Phi(Z_{(i)}))=E[(\Phi(Z_{(i)})-E(\Phi(Z_{(i)})))^2]\to 0$ für $N\to\infty$ gilt ja, daß

$\Phi(Z_{(i)})\to E(\Phi(Z_{(i)}))$ in Wahrscheinlichkeit für $N\to\infty$ .

Daraus folgt aber:

$Z_{(i)}\to \Phi^{-1}\left(\frac{i}{N+1}\right)$ in Wahrscheinlichkeit für $N\to\infty$ .

Nun kommt der Part, der mir noch unklar ist:

Andererseits soll nun auch gelten:

$Z_{(i)}\to E(Z_{(i)})$ in Wahrscheinlichkeit für $N\to\infty$ , da

$\operatorname{Var}(Z_{(i)})=E[(Z_{(i)}-E(Z_{(i)}))^2]\to 0$ für $N\to\infty$ (*)

Die mit (*) markierte Zeile ist mir noch unklar. Wie sieht denn diese Varianz überhaupt aus? Vielleicht sehe ich dann, dass sie gegen 0 geht für N gegen unendlich...

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Viele Grüße

felix12

felix12 · von **felix12** » Di 19. Jun 2012, 16:43

Hallo, ich bin's nochmal.

Die Aufgabe lautet doch leicht anders, denn was ich als Scores der Fisher-Yates-Teststatistik hingeschrieben habe, ist nicht das, was wir nun in der Vorlesung als Scores für die Fisher-Yates-Teststatistik definiert haben.

Demnach lautet die Aufgabe nun so:

Ich soll die Frage beantworten, welche Beziehung besteht zwischen den Scores der Teststatistik

$V:=\sum_{i=m+1}^{N}\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{N+1}\right)$

und denen der Teststatistik

$FY:=\sum_{i=m+1}^{N}E\left(\Phi^{-1}(U_{(R_i)})\right)$ , wobei $U_1,\hdots,U_N\sim U[0,1]$ (d.h. stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0,1]),

also zwischen $\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{N+1}\right)$ und $E\left(\Phi^{-1}(U_{(R_i)})\right)$ .

Ich habe mir schon Folgendes überlegt:

Liegt eine über $[0,1]$ gleichverteilte Grundgesamtheit vor, wie es bei den $U_1,\hdots,U_N$ der Fall zu sein scheint, so gilt

(i) $U_{(R_i)}\sim\operatorname{Beta}(R_i,n-R_i+1)$ und damit

(ii) $E(U_{(R_i)})=\frac{R_i}{N+1}$

Demnach fällt mir als Beziehung vorläufig schonmal dieses auf:

$\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{N+1}\right)=\Phi^{-1}\left(E(U_{(R_i)})\right)$

Hat jemand eine Idee, wie es nun weitergehen könnte?

Viele liebe Grüße

felix12

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