STATISTIK-FORUM.de

[DiplVW]

Guten Tag,

ich habe gelesen, man könne die Koeffizienten bei KQ immer als "beste lineare Prädiktoren bei quadratischer Verlustfunktion" interpretieren, selbst, wenn E[u|x]!=0, wenn also das Modell fehlspezifiziert ist, also E[y|x] bspw. nicht linear in den x ist (Cameron & Trivedi 2009, S. 68f.).
Ich verstehe nur leider auch nach mehrmaligem Lesen nicht, was das eigentlich bedeuten soll?

Gibt es andere "deskriptive" Interpretationen der KQ-Schätzer, die auch trotz inkonsistenter Schätzer in der multivariaten Regression zutreffen?

LG,
Daniel

[STATWORX]

Ich gehe mal davon aus, dass hierbei zum einen die BLUE-Eigenschaft des OLS-Schätzers gemeint ist (Best-Linear-Unbiased-Estimator), bei der gezeigt wird, dass der OLS-Schätzer in der Klasse der linearen "unverzerrten" Schätzer derjenige mit der geringsten Varianz der Parameterschätzer ist und zum anderen die Konsistenz des OLS-Schätzers, die auch bei Verletzungen der Annahmen (z.B. E[u|x]!=0) gilt. Die quadratische Verlustfunktion ist ja quasi das Ausgangsproblem des OLS-Schätzers (Least Squares), das dann in ein Minimierungsproblem überführt und aufgelöst wird. Kannst Du die Textstelle genauer spezifizieren, dann schau ich mal kurz drauf.

VG

[DiplVW]

Nein, es geht hier nicht um BLUE. Es geht auch nicht um Konsistenz. Es geht darum, dass der nicht konsistente Schätzer als "best linear predictor" interpretiert werden kann. Nur was bedeutet das?

Wenn E[u|x]!=0 ist der KQ-Schätzer nicht konsistent!

Die Textstelle habe ich doch bereits genau spezifiziert...

LG,
Daniel

[daniel]

Wenn E[u|x]!=0 ist der KQ-Schätzer nicht konsistent!

Ich glaube da hat STATWORX recht. Zwar impliziert E[u|X] = 0 Cov(u, x) = 0, umgekehrt impliziert aber E[u|X] != 0 nicht zwangsläufig Cov(u, x) != 0. Solange E[ux] = 0 gilt bleibt der OLS Schätzer konsistent. Er ist zwar verzerrt und damit nicht mehr BLU[nbiased]E, aber dennoch konsisntent, solange der Fehler im Mittel 0 und unkorreliert mit den X ist.

[DiplVW]

Hi,

ich habe nun nochmal nachgelesen. Es stimmt, dass für Konsistenz nur nötig ist, dass E[u]=0 und Cov[x,u]=0.
Aber dann verstehe ich immer noch nicht, was mir folgender Satz aus C&T (S. 69) sagen soll: "A structural interpretation of OLS requires that the conditional mean of the error term, given regressors, equals zero."
Und andererseits bleibt er eben anscheinend immer "best linear predictor", was das dann auch immer heißen mag. Ich denke aber trotzdem nicht, dass damit Konsistenz gemeint ist, da in dem Beispiel davon die Rede ist, dass die funktionale Form nicht stimmen mag, der bedingte Mittelwert also nicht-linear in den x ist.

LG,
Daniel

[daniel]

"best linear predictor", was das dann auch immer heißen mag.

Wie STATWORX schon gesagt hat, ist eine quadratische Verlustfunktion der Ausgangspunkt für die OLS Schätzung. "best linear predictor" heißt dann doch ganz einfach, es gibt keine bessere (i.e. mit geringerm Fehler behaftete) lineare Approximation.

Das ist aber lediglich die verbale Dartsellung des durch KQ gelösten mathematischen Minimierungsproblems. Klingt für mich recht banal, denn es sagt eigentlich : "die Minimierung des Fehlers (i.e. OLS) liefert den minimalen Fehler". Das ist bestenfalls eine Definiton, keine Erkenntnis.